आइये Sequences and Series समझें!

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स blog में आपको Sequences and Series के बारे में पूरी जानकारी मिलेगी जो कि CBSE Class 11 की NCERT के chapter 9 पर based हैं | साथ में आपको उन Video lectures के links भी मिल जाएंगे जिनमें मैंने इसके सारे concepts और एक-एक NCERT exercise question को काफी deeply और details के साथ explain किया है |

Meaning of Sequence and Series

सबसे पहले शुरुआत करते हैं Sequence के नाम के साथ | Sequence का हिंदी में meaning होता है “क्रम” यानि कि numbers या objects का ऐसा group जो किसी particular order में आ रहा हो | ये particular order सभी numbers या objects के साथ एक जैसा ही होता है | Sequence शब्द का इस्तेमाल हम maths में numbers के particular orders के लिए करते हैं और उन numbers को sequence की terms कहा जाता है | Practical life में इसका इस्तेमाल किसी भी object के साथ किया जा सकता है | Example के लिए:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … ये एक ऐसी sequence है जिसकी हर term के बीच में 1 का difference है |

5, 10, 20, 40, 80, 160, … ये एक ऐसी sequence है जिसकी हर अगली term, पिछली term का twice या दूगना है |

इसी तरह से अनगिनत तरीकों से sequence बनाई जा सकती है | sequence में हर term को हम उसकी position के हिसाब से “variableposition” की form में represent करते हैं | जैसे कि पिछले पहले example को ही लेते है;

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …

इसमें अगर variable मैं “a” लेता हूँ तो सभी terms को इस तरह से लिखा जायेगा:

a1=1,  a2=2,  a3=3,  a4=4,  a5=5,  a6=6,  a7=7, ….

अब बात करते हैं series की | जब हम किसी sequence की सभी terms के बीच में addition का sign लगाते हैं तो उस sequence को series कहा जाता है | अब पिछली दो sequence को ही लेते हैं | अगर उन्हें इस तरह से लिखें:

1+2+3+4+5+6+7+…

5+10+20+40+80+160+..

तो ये series बन जाती हैं | Sequence औरे series में सिर्फ़ इतना सा ही फ़र्क नहीं हैं | series को हम  summations की form में आसानी से लिख सकते हैं |

General Term

अब बात करते हैं कि sequence और series की terms के साथ काम कैसे किया जाता है ? जैसे कि ऊपर बताया, हर terms के बीच में एक particular order होता हैं जिसकी वजह से हम हर term को एक common पहचान दे सकते हैं | एक ऐसी पहचान जिस से उस sequence या series में आने वाली किसी भी term को find किया जा सके | उस पहचान को ही General term कहा जाता है | फिर से पिछले दो examples लेते हैं, लेकिन इस बार terms की positions के साथ |

पहली sequence:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7,…

अब इस sequence में जो term की position हैं वही term की value भी है, तो इसी common बात को देखते हुए इसकी general term होगी: a= n

दूसरी sequence को हमें थोडा modify करना होगा ताकि उनका common relation पता चल सके:

5, 10, 20, 40, 80, 160,…
5(1), 5(2), 5(4), 5(8), 5(16), 5(32),…
5(2)0, 5(2)1, 5(2)2, 5(2)3, 5(2)4, 5(2)5,…
a1 a2 a3 a4 a5 a6,…

इस sequence की हर term में 5(2) है और हर term में (2) की power term की position से एक कम है, तो इसकी general term होगी:  an=5(2)n-1

General term का सबसे बढ़ा फ़ायदा ये है कि हम इससे उस sequence या series में आने वाली कोई भी term find कर सकते हैं | जैसे कि दूसरी sequence की general term को अगर लिया जाए:

an=5(2)n-1

अब अगर इसकी 10th term हमें find करनी है तो बस n कि जगह पर 10 रखना होगा;

a50=5(2)10-1=5(2)9=5(512)=2560

इसका मतलब इस sequence की 10th term 2560 है |

जो हमने ऊपर सीखा उस पर based आपकी NCERT में Exercise 9.1 है जिसके सभी questions की explanation और solutions के links नीचे दिए हैं:

00:19:32 Question 1
00:20:31 Question 2
00:21:02 Question 3
00:21:34 Question 4
00:22:14 Question 5
00:23:25 Question 6
00:25:54 Question 7
00:26:24 Question 8
00:26:24 Question 9
00:27:24 Question 10
00:29:04 Question 11
00:31:14 Question 12
00:33:04 Question 13
00:34:24 Question 14 (Fibonacci Sequence)

 

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Ashish Kumar is educationist & founder of Ashish Kumar Lets Learn who has the vast experience of 9 years and skills (academic and vocational) that go and working with and alongside people, especially young people, their parent(s) and the institutes that work with him. His vision is to create an e-learning platform that provides relevant and enriching e-learning solutions that includes free online video lectures and other forms of highly engaging educational resources. He was started Ashish Kumar – Let’s Learn on the premise that every student deserves entry to the most advantageous and high-quality education. Here, his focus of providing effective free online lectures and educational resources are more on facilitating continuous learning and development for students and helps one to learn anything at any place or time with the advancement of technologies, online resources and data that one can brought to their desktops and mobile devices.

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